コンピュータにおいて、 全てデータは2進の数値になっています。 よって平文も数値として捉えることができます。
本来の平文や鍵は、非常に大きな多倍長整数になりますが、 考え方が同じなので、簡単な数値で説明します。 なお、ここで示す考え方の基本は法の世界の理論に基づいています。

RSAのアルゴリズム

適当な２つの素数 P と Q を選びます。 これが秘密鍵の生成元です。（保持しなくてもよい秘密鍵といえます）

このP と Q の積Mを、 公開鍵の一つにします。

(P-1)×(Q-1)の 値Zに対して、 「互いに素となる関係」の値Eを選び、 それを、もう一つの公開鍵とします。
（たくさんある中より適当に選びます。）

「Zを法とした世界」で、 Eの逆数になる値Dを選び、 それを秘密鍵とします。
( D×E≡1(mod Z)となる値で、 たくさんある中より適当に選びます。）
なお modは、余りを意味してます。上記は、左辺をZで割った余りが1になること表しています。

例
適当な２つの素数 P と Q を選びます。 これが秘密鍵の生成元です。（保持しなくてもよい秘密鍵といえます）

このP と Q の積Mを、 公開鍵の一つにします。

(P-1)×(Q-1)の 値Zに対して、 「互いに素となる関係」の値PEを選び、 それを、もう一つの公開鍵とします。
（・・・より適当に選びました。）

「Zを法とした世界」で、 PEの逆数になる値Dを選び、 それを秘密鍵とします。
（・・・より適当に選びました。）

これより、平文Xを暗号化したYは、
Y≡X^E(mod M)の関係と
X≡Y^D(mod M)の関係とがあります。(公開鍵がE、秘密鍵がD)

Y≡X^E(mod M)の式は
「Yは、Mを法としてX^Eと合同」と言います。
これは、YをMで割った余りと、X^EをMで割った余りが 同じということです。
よって、Y＜Mの関係であれば、 Yは、X^EをMで割った余りとして求められます。

平文XをXとして、上記例を適用します。
公開鍵のMをM、EをEとすると、
X^EをMで 割った余りのYが暗号文になります。

また、秘密鍵のDをDとすると、
Y^DをMで 割った余りのCが復号した平文になります。

最大公約数が 1 になる２つの整数の関係を「互いに素となる関係」と言います。
言い替えると、互いに素となる値とは、共通の素因数を持たない値です。
（その２つの値の最大公約数は1になります。）
また、Ｅの数を法にした世界で、(Ｚ × Ｄ) mod Ｅ＝１ となる Ｄ を、 Ｚ の逆数と言います。

まとめ
P,Qを秘密キー生成用の秘密の素数とし、平文をNとすると
N^(P-1)×(Q-1)≡1( mod (P×Q))　の関係があります。

ｍ＝(P×Q)と、 「(P-1)×(Q-1)」と互いに素となる適当な値ｅの２つを公開鍵とします。
また、ｅ×ｄ≡1( mod (P-1)×(Q-1) )を 満たすｄを秘密鍵とします。

上記のｍとｅが公開鍵で、ｄを秘密鍵とした時、
平文Ｎから暗号文Ｃは、Ｃ＝Ｎ^ｅ(１ mod ｍ)　で求めららます。
暗号文Ｃから復号文Ｎは、Ｎ＝Ｃ^ｄ(１ mod ｍ)　で求めららます。